Álgebra Abstrata

 

O que é Álgebra Abstrata?

A Álgebra Abstrata estuda estruturas matemáticas de forma geral e sistemática. Em vez de trabalhar com números específicos, ela analisa conjuntos munidos de operações que obedecem a certas regras. Isso permite aplicar os mesmos princípios em contextos diversos — da física à ciência da computação.

Principais Estruturas Algébricas

Aqui estão as estruturas mais fundamentais:

1. Grupo

Um grupo é um conjunto ( G ) com uma operação binária (°) que satisfaz:

• Associatividade: ( a ° (b ° c) = (a ° b) ° c )
• Elemento neutro: Existe  e in G  tal que ( a ° e = e ° a = a )
• Inverso: Para todo  a in G  existe  b in G  tal que ( a ° b = b ° a = e )

Se, além disso,  a ° b = b ° a , o grupo é chamado abeliano (ou comutativo).

Exemplo: Os inteiros com a adição formam um grupo abeliano.

2. Anel

Um anel é um conjunto ( A ) com duas operações: adição (+) e multiplicação (·), onde:

• ( (A, +) ) é um grupo abeliano
• Multiplicação é associativa
• Multiplicação distribui sobre a adição:
  a . (b + c) = a . b + a . c

Exemplo: Os inteiros com adição e multiplicação formam um anel.

3. Corpo

Um corpo é um anel com mais estrutura:

• Todo elemento diferente de zero tem inverso multiplicativo
• Multiplicação é comutativa

Exemplo: Os números racionais, reais e complexos são corpos.

4. Espaço Vetorial

Um espaço vetorial é um conjunto de vetores com duas operações:

• Soma de vetores
• Multiplicação por escalar (de um corpo)

Exemplo: O plano R²  é um espaço vetorial sobre o corpo R.

5. Módulo

Generaliza o conceito de espaço vetorial, mas o escalar vem de um anel, não necessariamente de um corpo.

Um módulo é uma estrutura algébrica que se parece com um espaço vetorial, mas em vez de os escalares virem de um corpo (como os reais $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$), eles vêm de um anel.

Formalmente:

Seja $RR$ um anel e $MM$ um conjunto, dizemos que $MM$ é um módulo sobre $RR$ se:

• Existe uma operação de adição $+:M\times M\to M+:\; M\; \backslash times\; M\; \backslash to\; M$ que torna $MM$ um grupo abeliano.

• Existe uma operação de multiplicação escalar $\cdot :R\times M\to M\backslash cdot:\; R\; \backslash times\; M\; \backslash to\; M$ que satisfaz:

1. $r\cdot (m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_{2}r\; \backslash cdot\; (m\_1\; +\; m\_2)\; =\; r\; \backslash cdot\; m\_1\; +\; r\; \backslash cdot\; m\_2$

2. $(r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m(r\_1\; +\; r\_2)\; \backslash cdot\; m\; =\; r\_1\; \backslash cdot\; m\; +\; r\_2\; \backslash cdot\; m$

3. $(r_1\cdot r_2)\cdot m=r_1\cdot (r_2\cdot m)(r\_1\; \backslash cdot\; r\_2)\; \backslash cdot\; m\; =\; r\_1\; \backslash cdot\; (r\_2\; \backslash cdot\; m)$

4. $1_R\cdot m=m1\_R\; \backslash cdot\; m\; =\; m$, se $RR$ tem elemento identidade

Exemplo Clássico: Módulo de Inteiros

Considere o anel $R=\mathbb{Z}R\; =\; \backslash mathbb\{Z\}$ (números inteiros) e o conjunto $M={\mathbb{Z}}^{n}M\; =\; \backslash mathbb\{Z\}^n$, o conjunto de vetores com $nn$ componentes inteiras.

• A adição é a soma de vetores: $(a_1,a_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},a_n)+(b_1,b_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},b_n)=(a_1+b_1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},a_n+b_n)(a\_1,\; a\_2,\; ...,\; a\_n)\; +\; (b\_1,\; b\_2,\; ...,\; b\_n)\; =\; (a\_1\; +\; b\_1,\; ...,\; a\_n\; +\; b\_n)$

• A multiplicação escalar é: $r\cdot (a_1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},a_n)=(r{a}_1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},r{a}_n)r\; \backslash cdot\; (a\_1,\; ...,\; a\_n)\; =\; (r\; a\_1,\; ...,\; r\; a\_n)$

Isso satisfaz todas as propriedades de módulo. Portanto, ${\mathbb{Z}}^n\backslash mathbb\{Z\}^n$ é um módulo sobre $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$.